方程根的个数之探秘
数日匆匆而过,学府内的书香依旧弥漫。戴浩文再次踏上那熟悉的讲台,新的知识篇章即将在学子们的期待中缓缓展开。
“诸位学子,前番我们在数列的世界中探寻智慧,今时今日,吾将引领尔等步入方程根的个数这一神秘领域。”戴浩文声音朗朗,目光扫过一众学子。
众学子正襟危坐,眼神中满是对新知识的渴求和好奇。
戴浩文轻挥衣袖,于黑板之上写下一道方程:“x2-5x+6=0。”
“吾等先观此简单之例,求解方程之根,诸位当如何为之?”戴浩文问道。
有学子起身答道:“先生,可用因式分解之法,化为(x-2)(x-3)=0,得根为2与3。”
戴浩文微微颔首:“善。然今所论者,非仅求其根,而在探究此类方程根之个数。”
他继而说道:“若方程为二次方程ax2+bx+c=0,其判别式Δ=b2-4ac便为关键。当Δ>0时,方程有两个不同之实根;当Δ=0时,方程有两个相同之实根;当Δ<0时,方程无实根。”
众学子听闻,纷纷低头记录。
戴浩文又举例道:“如方程x2+2x+1=0,其中a=1,b=2,c=1,Δ=22-4x1x1=0,故而此方程有两个相同实根,即为-1。”
为使学子们更明其理,戴浩文令学子们各自出题,相互求解判别式并判断根的个数。一时间,课堂内讨论之声四起,学子们或蹙眉思索,或欣然交流。
待众人稍有领悟,戴浩文话锋一转:“二次方程之理,诸位已略知一二。然方程之形多样,诸如三次方程、四次方程,乃至更高次方程,又当如何探究其根之个数?”
众学子面面相觑,皆感困惑。
戴浩文微笑道:“莫急。吾先以三次方程为例。”他在黑板上写下方程:“x3-6x2+11x-6=0。”
“求解此类方程,需综合运用因式分解、试根等法。吾先试x=1,代入方程,发现等式成立,故x-1为其一个因式。”戴浩文边说边演示。
经过一番推演,方程化为(x-1)(x-2)(x-3)=0,“由此可知,此方程有三个实根,分别为1,2,3。”
“至于更高次方程,其解法更为复杂,常需借助函数之图像,以观其走势,判断根之个数。”戴浩文继续讲解。
他画出函数y=x3-6x2+11x-6的图像,“观此图像与x轴之交点,便知方程根之个数。”
学子们盯着图像,似有所悟。
戴浩文又道:“亦有一类方程,难以直接求解,如超越方程。例如,ex-2x-1=0。”
他解释道:“此类方程,吾等可通过函数单调性、极值等性质来推断根之个数。先求其导数,判断函数增减区间,再观其极值。”
戴浩文详细地推导着,学子们跟随着他的思路,努力理解着其中的奥妙。
时光悄然流逝,已至正午,阳光透过窗棂洒入教室,但学子们浑然未觉,沉浸于知识的海洋。
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